Fotometría fotoeléctrica y CCD

Hiparco de Nicea (190-125 a.C.) elaboró el primer catálogo estelar que se conoce, estableciendo la clasificación del brillo de cada una de las estrella por algo que llamó "magnitud". En 1856, norman Pogson confirmó experimentalmente el descubrimiento realizado décadas antes por William Herschel: que una estrella de primera magnitud era alrededor de 100 veces más brillante que una de la sexta magnitud. Desde entonces, el cálculo del brillo de una estrella mediante instrumentos fotosensibles se ha hecho imprescindible para la astronomía. El autor del artículo nos introduce al uso de la fotometría fotoeléctrica.

Orígenes.

La fotometría fotoeléctrica fue ganando en precisión conforme aparecieron nuevos materiales, dicho de otro modo conforme avanzaba la teoría del estado sólido, hasta el día de hoy en el cual las mediciones se hacen bien con fotomultiplicadores, bien con fotodiodos. Los tubos fotomultiplicadores son extremadamente sensibles a la luz, por ello se deben manejar con extremo cuidado, es por ello que los fotodiodos suelen utilizarse para las estrellas más brillantes.

La principal ventaja de este tipo de fotometría es la precisión que se consigue, hasta 0,008 magnitudes, lo cual nos permite trabajar cómodamente con variables de corto período, también aquellas que poseen una amplitud de variación menores que 1 magnitud, o con variables eruptivas del tipo UV Ceti, o R Corona Borealis, entre otras.

Sin embargo las mediciones que realicemos por este tipo de fotometría tienen que hacerse a través de filtros para obtener medidas estándar, el sistema más usado por los aficionados es el UBVRI desarrollado por Johnson y Morgan en los años cincuenta, debemos tener en cuenta que no son necesarios todos los filtros, si tan sólo se trata de hacer mediciones de brillo nos basta con el V, aunque el filtro B también nos vendría bien para hacer estudios más avanzados, así podemos obtener el índice de color B-V de las estrellas, pudiendo estimar la clase espectral a la que pertenecen, o calcular las edades de unos cuantos cúmulos estelares, entre otras cosas. Cabe decir que estos filtros están centrados en unas determinadas longitudes de onda, así el U (ultravioleta) tiene el máximo en los 350 nm, el B (azul) en 430 nm, el V (visual) en 550 nm, el R (rojo) en 700 nm y el I (infrarrojo) en 900 nm, este sistema esta aún más ampliado con más filtros que se sitúan más hacía el infrarrojo. Lo habitual es hacer fotometría UBV, sin embargo los que posean un Schmidt-Cassegrain no pueden utilizar el filtro U, ya que la placa Schmidt impide el paso de rayos ultravioletas.

En nuestro caso para trabajar con variables nos es suficiente el filtro V. Este tipo de filtros son especiales. No vale uno cualquiera a pesar de que tenga el máximo en la misma longitud de onda que los del sistema de Johnson, ya que cada filtro tiene una curva de sensibilidad concreta. Los tipos de filtros comúnmente utilizados para dar el paso de banda estándar deseado son de vidrio Schott, ver tabla adjunta, aunque podemos investigar acerca de otro tipo de filtros que sean más baratos, ya que los mencionados pueden costarnos del orden de 10.000-20.000 Ptas. para cada paso de banda, en algunos casos se trata de una combinación de dos vidrios.

Filtro  Vidrio Schott  Grosor
U       UG1            1 mm  
B       GG385+BG12     3 mm  
V       GG495+BG17     3 mm  
R       OG570+BG38     3 mm  
I       RG9            2 mm  

Partes de un fotómetro fotoeléctrico, montado sobre el portaoculares de un telescopio catadióptrico.

Cálculos prácticos.

donde m_c y m_v son las magnitudes de la estrella de comparación y de la estrella variable en cuestión; i_c e i_v serán las intensidades netas medidas por el aparato correspondientes, (es muy importante que la respuesta del fotodiodo sea lineal) como su subíndice indica, a la estrella de comparación y a la variable. Puesto que nosotros sólo conoceremos las intensidades lo que estaremos calculando será la diferencia de magnitud entre la estrella de comparación y la estrella variable. Puesto que el valor de m_c será conocido sólo debemos sumarle el valor de m calculado para conocer m_v. No obstante, antes que nada debemos hacer una medición del background (brillo del fondo del cielo) del cielo, este nos producirá una intensidad i_b la cual debemos restarla al valor calculado para las diferentes intensidades estelares medidas y así obtenemos un valor neto. Este problema se debe a la luminosidad íntrinseca de la atmósfera, ya que las moléculas y átomos que la componen emiten radiación también por la noche. Esto hace que las noches no sean totalmente oscuras (este problema no lo tendríamos en la Luna). En fotometría diferencial, se suele utilizar, además, una estrella adicional de chequeo por si acaso la estrella de comparación fuese variable.

Así pues, el valor neto de la medida es el que colocaremos en la ecuación 1:

Donde i_cb será el valor en bruto de la medida hecha para la estrella de comparación y, de igual modo, para la variable. El valor de i_b lo obtenemos en una zona próxima a la estrella en cuestión, para cada caso, en la cual no halla estrella alguna. Cabe decir que no es necesario realizar medidas del background cada vez que observemos una estrella, unicamente es un chequeo rutinario y se realizará ocasionalmente, durante el tiempo de observación. En estos momentos seremos conocedores de m, este valor aún no se lo podemos sumar al valor conocido m_c, ya que este es un valor estándar, el cual se supone extraatmosférico y corregido al sistema UBV. De este modo, y como primera tarea antes de empezar a trabajar en fotometría debemos calcular una serie de factores que afectan a nuestro lugar de observación y a la sensibilidad de nuestro instrumento, para el primer caso calcularemos los coeficientes de extinción de primer y segundo orden, para el segundo caso calcularemos los coeficientes de transformación.

Algo que debemos tener en cuenta a la hora de hacer fotometría es la precisión que queremos conseguir, la mayor precisión posible a obtener depende de si calculamos o admitimos unos valores medios, para los coeficientes de extinción de nuestro lugar de observación. Tanto si hacemos fotometría all sky, como si hacemos fotometría diferencial (que es el caso que nos ocupa), es imprescindible conocer los coeficientes de extinción.

Cálculo de los coeficientes de extinción.

La atmósfera terrestre esta establecida de manera estratosférica, es decir compuesta or una serie de estratos de diferente densidad, esto hace que un rayo de luz al penetrar en la atmósfera no sólo no cambie su dirección sino que la va cambiando continuamente conforme cambia de estrato, ya que el índice de refracción es distinto para cada estrato, esto se traduce en una curvatura de la trayectoría del rayo. Sin embargo, la trayectoría a seguir depende del ángulo de entrada del rayo (Ley de Snell), es por ello que la refracción es menor en la dirección al zenit, el ángulo de entrada es de 0°, y por tanto, la desviación del rayo será nula, aunque la atmósfera absorverá parte de la luz de la estrella, otra cuestión es que puesto que el índice de refracción depende de la de la luz monocromática incidente, lo cual significa que la luz no se refracta por igual, siendo mayor la refracción conforme disminuye, es por ello que observemos un enrojecimiento de las estrellas y diferentes astros cuando se hallan a poca altura. De esto último podemos concluir que es aconsejable observar a distancias zenitales (z) pequeñas, aunque en general, y dependiendo del lugar de observación, podemos llegar a una z del orden de 50° a 60°.

Hecha esta introducción necesaria para aclarar conceptos veamos como podemos calcular la masa de aire (X).

donde sec es la secante o la inversa del coseno de la distáncia zenital z. Este valor es igual también a:

donde phi es la latitud geográfica del lugar de observación, delta es la declinación de la estrella y H es su ángulo horario, esto es, la distáncia del meridiano del lugar de observación al astro siguiendo un arco paralelo al ecuador celeste siendo 0h para el meridiano y continuando el sentido hacia el oeste del meridiano, expresado en grados. La latitud geográfica del lugar es, pues, necesario conocerla, la declinación de la estrella se debe calcular también para la época de observación debido a la precesión de los equinoccios, ya que las coordenadas que nos den para esta estrella en los atlas estelares están calculadas para los equinoccios de épocas concretas, p.e. 1950,0 o 2000,0 etc., así pues el valor de la declinación en el momento de observación la calcularemos del siguiente modo, daremos la precesión en ascensión recta también ya que nos será necesaria para más adelante:

De esta forma calculamos el incremento en coordenadas respecto a la época para la cual conocemos las coordenadas, al final después de todo el cálculo debemos sumar este incremento a las coordenadas conocidas para saber el valor de las coordenadas actuales, el valor de los parámetros son los siguientes:

donde t_f es la época para la cual calculamos las nuevas coordenadas (p.e. 1996), t_i la época para las cuales conocemos las coordenadas (p.e. 1950) y t_m es la media en años desde 1900, para los cuales son conocidas las constantes que aparecen en el resto de parámetros, m, n y n". Los valores de los incrementos en ascensión recta y en declinación vendrán dados en segundos y segundos de arco, respectivamente, debeís recordar que los valores de las coordenadas conocidas del astro, m y m, deben estar expresados en grados para poder calcular las funciones trigonométricas.

Una vez conocidos los incrementos les sumamos las coordenadas conocidas, para obtener las coordenadas de la época del momento de observación.

El siguiente paso será calcular el ángulo horario del astro, este se calcula mediante la siguiente ecuación:

Siendo TSL el tiempo sideral local, el cual para calcularlo os remito al boletín de éfemerides de la asociación, y siendo la ascensión recta calculada para la época del momento de observación. Recordad que debemos pasar H a grados para calcular la masa de aire X. En este momento podemos pasar a calcular los coeficientes de extinción, para ello necesitamos una tabla de estrellas escogidas por sus características, ver apéndice 1, el tipo ideal son estrellas A0V, cuyos índice de color B-V y U-B son 0, no obstante se suelen utilizar estrellas en el rango -0,15 a +0,15, que están próximas al tipo deseado, por supuesto deben ser estrellas individuales, o sistemas cuyas componentes esten notablemente separadas, y, por supuesto, que no sean variables.

Así pues utilizamos las siguientes ecuaciones:

Donde v es la magnitud visual medida, v_0 la magnitud visual extraatmosférica, k_v' el coeficiente de extinción de primer orden y X la masa de aire, i es la intensidad que medimos. La constante A_v es la ganancia expresada en magnitudes.

Antes que nada debemos calibrar dicho valor si se trata de un fotómetro comercial en el manual de dicho instrumento se recomendará como hacerlo, es necesario calibrarlo ya que puede haber pequeñas variaciones en el valor que se nos indica. En general los fotómetros hechos con fotomultiplicadores tienen escalas de ganancia en magnitud que van desde la 0,0m hasta la 7,5m mientras que los fotómetros hechos con fotodiodo el origen de la escala es notablemente superior, ya que estos por si mismos, al contrario que los fotomultiplicadores, no amplifican nada la señal. Así, el origen de la escala puede situarse, también dependiendo del tipo de fotodiodo, en la 5,0m. En este caso, y dado que nosotros nos dedicamos en este manual única y exclusivamente a fotómetros de fotodiodo, no es necesario realizar los ajustes de calibrado ya que el valor de las resistencias que incorpora el circuito amplificador, y que son las que nos dan a conocer el valor de la ganancia, poseen valores demasiado elevados. Por esta razón, la variación es mínima en comparación con el valor de la resistencia y por ello no perderemos precisión en el valor de nuestras medidas, o mejor dicho, no introduciremos errores.

Dicho esto podemos continuar con la tarea emprendida unos párrafos más arriba. Así pues, dado que conocemos todo, excepto v_0 que es una constante, y k_v' que es otra constante, digamos local, ya que únicamente es válida para el lugar de observación donde estemos, hallaremos, pues, dichas constantes mediante un ajuste por mínimos cuadrados, la pendiente de la recta será k_v', la ordenada en el origen será v_0, siendo esta la magnitud visual extraatmosférica obtenida, para ello debemos medir v para distintas X, recordad que estamos calculando el coficiente de extinción de primer orden y para que este predomine sobre el de segundo orden debemos la masa de aire para cada 5º de rotación de la Tierra, por ejemplo, nunca menos de 1ª.

Debemos hacer lo mismo con los otros filtros, es decir, para cada filtro las ecuaciones serán como siguen a continuación:

• Filtro U, u = -2,5 · log(i_u) + A_u, u = u_0 + k_u' X
• Filtro B, b = -2,5 · log(i_b) + A_b, b = b_0 + k_b' X
• Filtro R, r = -2,5 · log(i-r) + A_r, r = r_0 + k_r' X
• Filtro I, i = -2,5 · log(i_i) + A_i, i = i_0 + k_i' X

A continuación pasamos a calcular el coeficiente de extinción de segundo orden. En este caso debemos utilizar dos estrellas patrón que estén muy próximas, < 1º. Así pues la ecuación que utilizaremos será:

De igual modo para el resto de filtros:

Para la medición con el filtro U, existe un problema, y puesto que se extralimita de las intenciones de este manual introductorio, os invito a consultar la bibliografía. Tan sólo diremos que como aproximación k_u" la consideramos igual a k_b", siendo el error que introducimos de esta manra, para conocer el indice de color (U - B) de 0,03. Por otra parte debemos tener en cuenta que vamos a utilizar casi siempre el filtro V, únicamente, para realizar mediciones fotométricas.

Cálculo de los coeficientes de transformación.

Si únicamente realizamos mediciones con el filtro V, el problema se reduce a calcular el coeficiente V. Utilizamos la siguiente ecuación:

Lo más útil es utilizar un cúmulo, puesto que todas las estrellas se hallan muy próximas entre si el ángulo horario (H) es prácticamente el mismo, debemos tener en cuenta que si pudiésemos efectuar la medición de 8 estrellas, como mínimo, a la vez sería lo ideal ya que las condiciones no variarían nada en absoluto, por ello cunato menos tiempo tardemos en efectuar nuestras mediciones, mejor. Así pues, se trata de realizar un ajuste de la recta:

La pendiente de dicha recta será el coeficiente de transformación y la ordenada en el origen será el "punto origen" V (en la literatura anglosajona zero point). Para los filtros U, B, R e I tendremos;

El procedimiento empleado en el caso del filtro V se emplea, del mismo modo, con el resto de filtros para calcular sus respectivos coeficientes de transformación. Los "puntos origen" son unas constantes únicas para cada sistema telescopio-filtro-fotómetro, que incluyen todas las características necesarias para peculiarizar dicho sistema.

Cuando vayamos a traducir la magnitud de nuestra estrella variable, en un momento dado, a estándar nos encontramos con un problema, y es el desconocimiento del valor estándar del indice de color necesario para calcular la magnitud estándar en un filtro dado. Situación ideal, que toda variable fuera períodica, que pudieramos tener una efemérides muy exactas, y que, para el momento en el que estamos, conocieramos el índice de color que, previamente, alguien había calculado.

Situación real, elegimos el valor sin estandarizar, por ejemplo si es el caso sustituimos (B - V) por (b - v)0, este valor si que lo podemos conocer nosotros ya que lo hemos calculado para el instánte dado para el cual calculamos la magnitud v_0, es decir necesitamos utilizar ambos filtros, puesto que el valor del coeficiente de transformación es muy pequeño el error introducido de este modo será mínimo, también, aunque, logicamente, acumulable. Al final todo dependerá de la variable que estemos observando, y de si su indice de color dado, varía mucho entre el máximo y el mínimo de brillo, si varía muy poco también podemos escoger un valor medio del mismo, en este caso me refiero al valor estándar, y así utilizar unicamente un filtro para nuestras mediciones.

Como vemos cuanta más precisión queramos conseguir con nuestro sistema, más complejo se convierte el proceso previo a las mediciones de variables.

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